Родился 30 мая 1923 года в городе Осе Пермской области. В 1941 году окончил среднюю школу № 30 города Ижевска.
Добровольцем вступил в ряды Красной армии. С января по июнь 1942 года был курсантом Ленинградского артиллерийского технического училища, которое окончил в звании техник-лейтенант.
С июня по ноябрь 1942 года - слушатель Московской артиллерийской академии. С ноября 1942 по июнь 1945 года участвовал в сражениях на Центральном, 1-м Украинском, 1-м и 2-м Белорусских фронтах в составе артполка, стрелковой дивизии и артбригады. Был дважды ранен.
После окончания войны в 1946 году поступил в Ижевский медицинский институт, который окончил в 1951 году и работал врачом ординатором факультетской хирургической клиники Ижевского мединститута.
В 1951-1952 годы обучался в клинической ординатуре Ленинградского института нейрохирургии. С 1952 по 1956 год - аспирант, а затем - врач-нейрохирург этого же института. В 1956 году защитил кандидатскую диссертацию на тему «Хирургическое лечение опухолей IV желудочка головного мозга». С 1956 года работал ассистентом, а потом доцентом клиники и кафедры госпитальной хирургии, травматологии и военно-полевой хирургии Ижевского мединститута. С 1976 года - доцент кафедры нервных болезней, зав. курсом нейрохирургии.
А. А. Солопаев провел большую организационную работу по созданию крупного нейрохирургического центра специализированной помощи населению г. Ижевска и Удмуртской Республики. Постоянно уделял внимание подготовке квалифицированных врачебных кадров в клинической ординатуре, участвовал в подготовке и проведении конференций, семинаров, кратковременных курсов для практических врачей по актуальным вопросам нейрохирургии.
Под его руководством в нейрохирургической клинике освоен целый ряд новых диагностических и лечебных методов, возросла хирургическая активность, значительно совершенствовалась специализированная помощь населению за счет постоянной и систематической подготовки практических врачей на местах по вопросам нейрохирургии.
А. А. Солопаев - автор 80 научных работ по различным вопросам нейрохирургии. Им впервые проведены оригинальные исследования, посвященные изучению биоритмов в деятельности системы гипоталамус - гипофиз - кора надпочечников при черепно-мозговой травме. Им впервые в отечественной медицине опубликованы клинические наблюдения на тему «передние крестцовые спинномозговые грыжи» и предложен метод лечения, который имеет приоритетное признание и практическое применение.
Он был бессменным председателем научно-практического общества нейрохирургов Удмуртии, членом правления Всесоюзного научного общества нейрохирургов. С 1956 по 1978 год он был главным нейрохирургом МЗ УАССР.
А. А. Солопаев - заслуженный врач УАССР, отличник здравоохранения СССР. Награжден орденом «Красной Звезды», медалями «За освобождение Варшавы», юбилейными медалями «В честь Победы в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг. » и «100-летия со дня рождения В. И. Ленина».
Умер А. А. Солопаев в 1998 году.