Родился 12 июля 1878 года в селе Воскресенском Макарьевского уезда Нижегородской губернии. В 1895 году окончил низшую сельскохозяйственную школу 1-го разряда и в течение 6 лет работал учителем начального народного училища в Уржумском уезде Вятской губернии. В 1901 году, будучи женатым, поступил в 3 класс Казанского земледельческого училища, в 1902 году был исключен за участие в забастовке.
В 1903 году экстерном сдал экзамен на аттестат зрелости в 3-й Казанской гимназии и поступил на медицинский факультет Казанского университета. В 1905 году за участие в забастовке был исключен из университета и в 1906 году административно выслан за границу в город Цюрих (Швейцария), где пробыл 8 месяцев. Вернувшись из Швейцарии, вновь поступил в Казанский университет на медицинский факультет и, закончив в 1909 году с «отличием» со степенью лекаря, работал заведующим Вавожской больницы Малмыжского уезда Вятской губернии.
В том же году перешел на работу в Казань сверхштатным лаборантом кафедры хирургической патологии и терапии. С 1910 по 1913 год работал ординатором факультетской хирургической клиники в городе Казани у профессора А. В. Вишневского.
Окончив ординатуру в 1913 году, начал работать в уездной больнице города Слободского Вятской губернии, где организовал хирургическое отделение и заведовал им до 1918 года.
В Первую мировую войну участвовал на фронте старшим хирургом в передовом отряде № 27 Красного Креста. В декабре 1918 года был мобилизован в Красную армию вначале старшим ординатором, а затем - главным врачом полевого запасного госпиталя в г. Вятке. В сентябре 1921 года откомандирован в Пермский государственный университет, где был избран старшим ассистентом госпитальной хирургической клиники. В 1926 году избран приват-доцентом, в 1928 году - профессором кафедры оперативной хирургии и топографической анатомии. В 1931-1932 годы заведовал по совместительству кафедрой нормальной анатомии. В 1933 году по приказу НКЗ РСФСР переведен во вновь открытый Ижевский мединститут. До 1935 года читал курс школьной гигиены в пединституте и в то же время заведовал травматологическим отделением клинической больницы № 1. В 1935 году утвержден в ученом звании профессора на кафедре общей хирургии с присуждением степени доктора медицинских наук. С 1937 по 1953 год заведовал кафедрой госпитальной хирургии ИГМИ, которую сам организовал.
Он автор 51 научной работы. Выступал с научными докладами на многих всероссийских съездах хирургов.
С 1935 по 1953 год был бессменным председателем общества хирургов Удмуртской АССР. В это же время руководил работой студенческого научного кружка на кафедре. Талантливый, высококвалифицированный хирург, он вел активную консультативную и лечебную работу в различных больницах и эвакогоспиталях Удмуртии. Он одинаково хорошо оперировал больных с хирургической патологией органов грудной и брюшной полости, травматологических, ортопедических больных, делал разной степени сложные урологические, гинекологические и другие операции.
Он подготовил 2 кандидатов медицинских наук.
За многолетний творческий профессиональный, педагогический, научный труд ему присвоено почетное звание «Заслуженный деятель науки Удмуртской АССР».
Он был депутатом и заместителем председателя Верховного Совета Удмуртии с 1938 по 1947 год. Награжден орденом «Знак почета», 2 медалями и многими почетными грамотами Совета министров УАССР.
Умер С. Я. Стрелков в 1953 году.