Родился в августе 1899 года в городе Бежица Брянской губернии.
С 1918 по 1924 год учился на медицинском факультете Казанского университета.
С 1924 по 1926 год работал врачом-интерном в хирургическом и глазном отделениях в Бежицкой городской больнице.
С 1926 по 1929 год - ординатор в хирургическом отделении больницы маленького городка Ново-Ургенч Хорезмской области, с 1929 по 1931 год - штатный ординатор факультетской хирургической клиники профессора П. П. Ситковского в городе Ташкенте.
С 1931 по 1934 год заведовал хирургическим отделением Института неотложной помощи и был ассистентом хирургической клиники Самаркандского медицинского института, руководимой профессорами А. А. Козыревым и С. П. Шиловцевым. С 1935 по 1941 год работал начальником хирургического отделения и станции переливания крови Ташкентской железнодорожной больницы. С 1941 по 1946 год заведовал хирургическими отделениями в госпиталях Западного и 3-го Белорусского фронтов. С 1946 по 1953 год - заведующий хирургическим отделением и станцией переливания крови Ташкентской железнодорожной больницы и главный хирург Ташкентской железной дороги. С 1953 года - заведующий хирургическим отделением Московско-Курской железной дороги в городе Москве. Далее работал старшим сотрудником клинического отделения, руководимого членом-корреспондентом АМН профессором Б. В. Огневым, в институте экспериментальной патологии и терапии рака АМН СССР и кафедры топографической анатомии и оперативной хирургии ЦОЛИУВа до 1955 года. С 1955 года - доцент, с 1959 года - профессор, заведующий кафедрой госпитальной хирургии Ижевского государственного медицинского института.
В 1948 году защитил кандидатскую диссертацию на тему «Этиология и патогенез брыжеечных отверстий и их роль в проходимости кишечника», в 1958 году - докторскую диссертацию на тему «Карманы брюшины человека и их значение в клинике». Он автор 40 печатных работ по вопросам переливания крови, обезболивания, травматологии, заболеваний печени, желчевыводящих путей, урологии, язвенной болезни, по патологии ургентной хирургии заболеваний грудной и брюшной полостей, портальной гипертензии и другим. А. И. Зверев - редактор 2 сборников научных трудов по госпитальной хирургии ИГМИ. Под его руководством выполнено и защищено 6 кандидатских диссертаций (В. А. Третьяков, В. А. Ситников, Э. О. Вальтер, В. А. Злобина, О. Ф. Яковлев, М. Ф. Муравьев).
А. И. Зверев стоял у истоков формирования специализированных хирургических служб и отделений (травматологии и ортопедии, детской хирургии, онкологии, нейрохирургии, урологии) в городе Ижевске и УАССР. Награжден орденами «Отечественной войны II степени», «Красной Звезды», «Трудового Красного Знамени», медалями «За оборону Москвы», «За взятие Кенигсберга», «За Победу над Германией». За работу в послевоенные годы награжден орденом «Трудового Красного Знамени».
Умер А. И. Зверев в 1982 году.